Question

16．已知函数f（x）=|x-1|+|3x-$\frac{3}{4}$|．
（1）求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c=$\frac{3}{2}$．求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）由f（x）＜1，得|x-1|+|3x-$\frac{3}{4}$|＜1可化为：
$\left\{\begin{array}{l}{x≤\frac{1}{4}}\\{\frac{7}{4}-4x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}＜x＜1}\\{2x+\frac{1}{4}＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{4x-\frac{7}{4}＜1}\end{array}\right.$，
得$\frac{3}{16}$＜x＜$\frac{3}{8}$，
所以f（x）＜1的解集为：{x|$\frac{3}{16}$＜x＜$\frac{3}{8}$}；
（2）因为a+b+c=$\frac{3}{2}$，
所以：$\frac{{b}^{2}}{a}$+a+$\frac{{c}^{2}}{b}$+b+$\frac{{a}^{2}}{c}$+c≥2（a+b+c）=3，
所以：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．