Question

5．若点（x，y）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1上，则3x²-2xy的最小值是6+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由双曲线的标准方程可知：则x=2secα，y=tanα，由3x²-2xy=12sec²α-4secαtanα=$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$，由-1＜sinα＜1，1-sinα＞0，1+sinα＞0，由基本不等式的性质可知∴[（1-sinα）+（1+sinα）]•（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$）≥12+2$\sqrt{\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}×\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}}$=12+8$\sqrt{2}$，则$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$≥6+4$\sqrt{2}$，即可求得3x²-2xy的最小值．

解答 解：由线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，设x=2secα，y=tanα，
3x²-2xy=12sec²α-4secαtanα，
=$\frac{12}{co{s}^{2}α}$-$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，
=$\frac{12-4sinα}{co{s}^{2}α}$
=$\frac{12-4sinα}{1-si{n}^{2}α}$，
=$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$
∵-1＜sinα＜1，
1-sinα＞0，1+sinα＞0
∴[（1-sinα）+（1+sinα）]•（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$），
=12+$\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}$+$\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}$≥12+2$\sqrt{\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}×\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}}$=12+8$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{4（1+sinα）}{1-sinα}$=$\frac{8（1-sinα）}{1+sinα}$等号成立，
解得：sinα=3-2$\sqrt{2}$（3+2$\sqrt{2}$舍去）时，取得最小值，
∵[（1-sinα）+（1+sinα）]•（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$）=2（$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$），
$\frac{4}{1-sinα}$+$\frac{8}{1+sinα}$≥6+4$\sqrt{2}$，
∴3x²-2xy的最小值是6+4$\sqrt{2}$，
故答案为：6+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的参数方程，三角恒等变换，基本不等式性质的综合应用，考查计算能力，属于难题．