Question

17．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记f（x）=g（|x|）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）g（x）在区间[2，4]上是增函数，故$\left\{\begin{array}{l}g（2）=1\\ g（4）=9\end{array}$解得：实数a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，则log₂k＞2或log₂k＜-2．解得实数k的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
因为a＞0，
所以g（x）在区间[2，4]上是增函数，
故$\left\{\begin{array}{l}g（2）=1\\ g（4）=9\end{array}$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=0.\end{array}$…（6分）
（2）由已知可得f（x）=g（|x|）=x²-2|x|+1为偶函数．
所以不等式 f（log₂k）＞f（2）可化为   log₂k＞2或log₂k＜-2．
解得k＞4或0＜k＜$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．