Question

20．为了抓住将到来的“五一”小长假旅游商机，某商店决定购进A、B两种纪念品，若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元，若购进A中纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，请分别写出该商店有几种进货方案？
（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5-a）元，并且商家出售的纪念品均不低于成本．问：在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？

Answer 1

分析 （1）列方程组解出；
（2）设购进A纪念品x件，用x表示进货费用，列出不等式得出x的范围；
（3）将总利润y表示成所进A纪念品件数x的函数，根据函数的单调性判断那种方案利润最大．

解答 解：（1）设购进A，B两种纪念品各需x元，y元，
则$\left\{\begin{array}{l}{8x+3y=95}\\{5x+6y=80}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=5}\end{array}\right.$．
答：购进A，B两种纪念品各需10元，5元．
（2）设商家购进A纪念品x件，则购进B纪念品（100-x）件，
则750≤10x+5（100-x）≤764，
解得50≤x≤52.8．
∵x∈N，∴x=50或x=51或x=52．
∴商店有三种进货方案，
第一种方案：购进A纪念品50件，B纪念品50件，
第二种方案：购进A纪念品51件，B纪念品49件，
第三种方案：购进A纪念品52件，B纪念品48件．
（3）设商家购进x件A纪念品，所获利润为y，
则y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a．
∵商家出售的纪念品均不低于成本，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{5-a≥0}\end{array}\right.$，即0≤a≤5．
①若2a-5＞0即$\frac{5}{2}＜a$≤5，则y=（2a-5）x+500-100a是增函数．
∴购进52件A纪念品，48件B纪念品获利最大．
②若2a-5＜0，即0≤a$＜\frac{5}{2}$，则y=（2a-5）x+500-100a是减函数
∴购进50件A纪念品，50件B纪念品获利最大．
③若2a-5=0，即a=$\frac{5}{2}$时，则y为常数函数，
∴三种进货方案获利相同．

点评 本题考查了二元一次方程与不等式的应用，属于中档题．