Question

4．在△ABC中．角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（I）求sinA；
（2）若c=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由cosB的值求出sinB的值，再由已知，利用正弦定理即可求出sinA的值．
（2）由已知可得a＜b，A为锐角，可得cosA，sinC的值，由正弦定理可解得b，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，B为三角形的内角，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴由正弦定理得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$．
（2）∵$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得：a＜b，A为锐角，由（1）可得：cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴若c=5，由正弦定理可得：$\frac{a}{\frac{4}{5}}=\frac{b}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{5}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$，解得：b=5，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×5×5×\frac{4}{5}$=10．

点评 此题考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．