Question

证明点到直线的距离公式：已知点P（x₀，y₀）及直线L：Ax+By+C=0，证明点P到直线L的距离d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：过点P作x轴的平行线，交l于点R（x₁，y₀），作y轴平行线，交l于点S（x₀，y₂），由已知条件分别求出|PR|，|PS|，|RS|，由三角形面积公式，能证明点P到直线L的距离d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．

解答： 证明：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，
过点P作x轴的平行线，交l于点R（x₁，y₀），
作y轴平行线，交l于点S（x₀，y₂），
由

A x1+By0+C=0 Ax0+By2+C=0

，得x1=

-By0-C

A

，y2=

-Ax0-C

B

，
∴|PR|=|x₀-x₁|=|

Ax0+By0+C

A

|，
|PS|=|y₀-y₂|=|

Ax0+By0+C

B

|，
|RS|=

PR2+PS2

=

A2+B2

|AB|

×|Ax₀+By₀+C|，
由三角形面积公式，得：
d•|RS|=|PR|•|PS|，
∴d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．当A=0或B=0时仍适用，
∴点P到直线L的距离d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．

点评：本题考查点到直线的距离公式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形面积公式的合理运用．