Question

已知f（x-1）=x²-3x．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）设g（x）=f（x+a）+x，（a为实常数），求g（x）在[-1，3]的最小值．

Answer 1

分析：（1）把给出的函数式右边配方为x-1及常数的形式，则函数f（x）的解析式可求；
（2）利用（1）中求出的f（x）的解析式，代入g（x）=f（x+a）+x后，利用二次函数的对称轴与区间[-1，3]的关系分类讨论求出g（x）在[-1，3]的最小值．

解答：解：（1）由f（x-1）=x²-3x=x²-2x+1-x+1-2=（x-1）²-（x-1）-2
所以，f（x）=x²-x-2；
（2）g（x）=f（x+a）+x=x²+2ax+a²-a-2，
当-a≤-1，即a≥1时，最小值为g（-1）=a²-3a-1；
当-1＜-a＜3，即-3＜a＜1时，最小值为g（-a）=-a-2；
当-a≥3，即a≤-3时，最小值为g（3）=a²+5a+7．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了配方法求函数解析式，考查了利用分类讨论的数学思想方法求函数的最值，是中档题．