Question

已知x=-

1

2

是函数f（x）=ln（x+1）-x+

a

2

x²的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，再利用x=-

1

2

是函数f（x）的一个极值点，即f′（-

1

2

）=0，从而可求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=

1

x+1

+2x-1，从而可求y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=

3

2

，进而可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=ln（x+1）-x+

a

2

x²，
∴f′（x）=

1

x+1

-1+ax
∵x=-

1

2

是函数f（x）的一个极值点．
∴f′（-

1

2

）=0，
∴2-1-

a

2

=0，故a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=

1

x+1

+2x-1
从而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=

3

2

，又f（1）=ln2，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=

3

2

x+ln2-

3

2

．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查导数的几何意义，有一定的综合性．