Question

（2012•丹东模拟）已知x=

π

6

是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx-

1

2

图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（不要求书写作图过程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得f（0）=f（

π

3

），即

1

2

=

1

2

a•sin

2π

3

+

1

2

cos

2π

3

，由此求得a的值．
（Ⅱ）由a=

3

，可得f（x）=

1

2

3

•sin2x+

1

2

cos2x=2sin（2x+

π

6

），其图象如图所示．

解答：解：（Ⅰ）∵x=

π

6

是函数f（x）=（asinx+cosx）cosx-

1

2

的图象的一条对称轴，且f（x）=

1

2

a•sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

a•sin2x+

1

2

cos2x，
∴f（0）=f（

π

3

），即

1

2

=

1

2

a•sin

2π

3

+

1

2

cos

2π

3

，解得 a=

3

．
（Ⅱ）∵a=

3

，∴f（x）=

1

2

×

3

•sin2x+

1

2

cos2x=2sin（2x+

π

6

），其图象如图所示：

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数的对称性的应用，用五点法作y=Asin（ωx+∅）的图象，属于中档题．