Question

已知x=

1

2

是f(x)=2x-

b

x

+lnx的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）设g(x)=f(x)-

1

x

，试问过点（2，5）可作多少条曲线y=g（x）的切线？为什么？

Answer 1

分析：（Ⅰ）解f′（

1

2

）=0得到b值，再验证x=

1

2

为极值点．
（Ⅱ）在定义域内解不等式f′（x）＞0即可．
（Ⅲ）设切点坐标，表示出切线方程，转化为方程的解的个数问题，进一步利用数形结合即可求得．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2+

b

x2

+

1

x

，∵x=

1

2

是f(x)=2x-

b

x

+lnx的一个极值点，
∴f′（

1

2

）=0，即 2+4b+2=0，得b=-1，当b=-1时，f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＜0；当x＞

1

2

时，f′（x）＞0，所以x=

1

2

为f（x）的极小值点，
所以b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

(2x-1)(x+1)

x2

，令f′（x）＞0得x＞

1

2

，
∴函数f（x）的单调增区间为[

1

2

，+∞)．
（Ⅲ）g(x)=f(x)-

1

x

=2x+lnx，
设切点坐标为（x₀，2x₀+lnx₀），则斜率为2+

1

x0

，切线方程为：y-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（x-x₀）．
∴又切线过点（2，5），∴5-2x₀-lnx₀=（2+

1

x0

）（2-x₀），
即lnx0+

2

x 0

-2=0，令h（x）=lnx+

2

x

-2，
则h′（x）=

1

x

-

2

x 2

=0，得x=2．
h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增又∵h(

1

2

)=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h(e2)=

2

e2

＞0
∴h（x）与x轴有两个交点，
故过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．

点评：本题考查了应用导数研究函数的极值、单调性问题，难度稍大，注意本题中数形结合思想与转化思想的运用．