Question

一船由甲地逆水匀速行驶到乙地，甲乙两地相距s(千米)，水速为常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)，且p＜q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k.

（1）把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/小时)的函数，并指出其定义域.

（2）为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？

Answer 1

思路分析：由题意，全程燃料费由每小时的费用及航程时间来决定，所以应先找出每小时的燃料费用及全程航行时间，而第（2）问是求最值问题.是否需用基本不等式，要注意适用的条件，尤其是第（1）问的定义域，水速应小于船的最小速度，所以定义域应是（p,q］.因此，本题若基本不等式的“=”号能满足即可求得结果，但也存在不能使“=”号成立的情况，因而，也需用函数的单调性求解.

解：（1）由于船每小时航行的燃料费用是kv²，全程航行时间为，于是全程燃料费用y=kv²·,

故所求函数是y=ks·(p＜v≤q),定义域是（p,q］.

（2）y=ks·=ks［(v+p)+］

=ks［v-p++2p］≥ks［+2p］=4ksp.

其中取“=”的充要条件是

v-p=,即v=2p.

①当v=2p∈(p,q］,

即2p≤q时，y_min=f(2p)=4ksp.

②当2p?(p,q］,即2p＞q.

任取v₁,v₂∈(p,q］且v₁＜v₂, 则

y₁-y₂=ks［(v₁-v₂)+()］

=［p²-(v₁-p)(v₂-p)］.

而p²-(v₁-p)(v₂-p)＞p²-(q-p)(q-p)

=q(2p-q)＞0.

∴y₁-y₂＞0.

故函数y在区间（p,q］内递减，此时y(v)≥y(q).

即y_min=y(q)=ks.

    此时，船的前进速度等于q-p.

    故为使全程燃料费用最小，当2p≤q时，船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/小时)；当2p＞q时，船的实际前进速度为q-p（千米/小时）.