Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足

a

2n

=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=

1

an

-

1

an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）是否存在实数λ，使对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8恒成立？若存在，请求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可得，

a

21

=S1=a1，
∵a₁≠0，
∴a₁=1．…．（1分）
∵

a

22

=S3=a1+a2+a3，
∴（1+d）²=3+3d，
∴d=-1，2，当d=-1时，a₂=0不满足条件，舍去．
因此d=2．…．（4分）
∴a_n=2n-1，
∴bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

∴Tn=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．…．（6分）
（2）由题意可得，λ•

2n

2n+1

＜n+8，
∴λ＜

(2n+1)(n+8)

2n

=

1

2

(2n+

8

n

+17)，…．（8分）
∵2n+

8

n

≥8，当n=2时等号成立，…．（10分）
∴

1

2

(2n+

8

n

+17)最小值为

25

2

，…．（12分）
因此λ＜

25

2

．                 …．（14分）