Question

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{a_n}是调和数列，对于各项都是正数的数列{x_n}，满足（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{x_n}是等比数列；
（Ⅱ）把数列{x_n}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当x₃=8，x₇=128时，求第m行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{x_n}，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件知a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．设a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，有，由此导出x_n+1²=x_nx_n+2，所以数列{x_n}是等比数列．
（Ⅱ）由题意知{x_n}的公比为q=2．x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．由此能够推导出第m行各数的和为．
（Ⅲ）由x_n=2ⁿ，知．所以．
由此入手能够导出．
解答：解：（Ⅰ）证明：因为，且数列{x_n}中各项都是正数，
所以a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2．
设a_nlgx_n=a_n+1lgx_n+1=a_n+2lgx_n+2=p，①
因为数列{a_n}是调和数列，故a_n≠0，．
所以，．②
由①得，代入②式得，
所以2lgx_n+1=lgx_n+lgx_n+2，即lgx_n+1²=lg（x_nx_n+2）．
故x_n+1²=x_nx_n+2，所以数列{x_n}是等比数列．（5分）
（Ⅱ）设{x_n}的公比为q，则x₃q⁴=x₇，即8q⁴=128．由于x_n＞0，故q=2．
于是x_n=x₃q^n-3=8×2^n-3=2ⁿ．
注意到第n（n=1，2，3，）行共有n个数，
所以三角形数表中第1行至第m-1行共含有个数．
因此第m行第1个数是数列{x_n}中的第项．
故第m行第1个数是，
所以第m行各数的和为．（9分）
（Ⅲ）因为x_n=2ⁿ，所以．
所以．
又=（k=1，2，3，，n），
所以
=．
所以．（14分）
点评：本题考查数列知识的综合运用，难度较大，解题时要注意挖掘隐含条件，灵活运用公式．