【题目】已知椭圆的离心率为
,以椭圆的短轴为直径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆过右焦点的弦为
、过原点的弦为
,若
,求证:
为定值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有
.则椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论:当直线的斜率不存在时,
.当直线
的斜率存在时,设
,
,
,
,联立直线方程与椭圆方程有
,由弦长公式可得
.联立直线
与椭圆方程,结合弦长公式有
.计算可得
.据此可得:
为定值.
试题解析:
(Ⅰ)依题意,原点到直线的距离为
,
则有.
由,得
.
∴椭圆的方程为
.
(Ⅱ)证明:(1)当直线的斜率不存在时,易求
,
,
则.
(2)当直线的斜率存在时,
设直线的斜率为
,依题意
,
则直线的方程为
,直线
的方程为
.
设,
,
,
,
由得
,
则,
,
.
由整理得
,则
.
.
∴.
综合(1)(2),为定值.
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【题目】一个袋中装有形状大小完全相同的球9个,其中红球3个,白球6个,每次随机取1个,直到取出3次红球即停止.
(1)从袋中不放回地取球,求恰好取4次停止的概率P1;
(2)从袋中有放回地取球.
①求恰好取5次停止的概率P2;
②记5次之内(含5次)取到红球的个数为,求随机变量
的分布列及数学期望.
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【题目】设函数f(x)在定义域[﹣5,5]上满足f(x)﹣f(﹣x)=0,且f(3)=0,当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式xf(x)<0的解集是_____.
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【题目】袋中有红、黄、白色球各1个,每次任取1个,有放回地抽三次,求基本事件的个数,写出所有基本事件的全集,并计算下列事件的概率:
(1)三次颜色各不相同;
(2)三次颜色不全相同;
(3)三次取出的球无红色或黄色.
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【题目】在直角坐标平面内,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线
的极坐标方程为
,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)分别求出曲线和直线
的直角坐标方程;
(2)若点在曲线
上,且
到直线
的距离为1,求满足这样条件的点
的个数.
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