Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求三棱锥P-BCD的体积；
（Ⅲ） 在线段AB上是否存在点G，使得CD⊥平面EFG？说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC交BD于F，
∵ABCD为正方形，∴F为AC中点，
∵E为PC中点．
∴在△CPA中，EF∥AP．
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：如图，取AD的中点O，连接OP．
∵PA=AD，∴PO⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
又且PA=PD=AD=2，∴△PAD是等腰直角三角形，
且AD=，PO=．
在正方形 ABCD中，=4．
∴=．
（3）存在点G满足条件，证明如下：
设点G为AB中点，连接EG、FG．
由F为BD的中点，∴FG∥AD，
由（I）得EF∥PA，且FG∩EF=F，AD∩PA=A，
∴平面EFG∥平面PAD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，
∴CD⊥平面PAD．
∴CD⊥平面EFG．
所以AB的中点G为满足条件的点．
分析：（I）连接AC交BD于F，利用三角形的中位线定理即可得到EF∥AP，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）取AD的中点O，连接OP．由等腰三角形的性质可得PO⊥AD，再利用面面垂直的性质可得PO⊥底面ABCD，计算出三角形BCD的面积，利用三棱锥的体积计算公式即可得出；
（III）设点G为AB中点满足条件，利用三角形的中位线定理可证明FG∥AD，再利用（I）的结论和面面平行的判定定理即可证明平面EFG∥平面PAD．利用面面垂直的性质可证明CD⊥平面PAD．
再利用面面平行的性质定理即可得到结论．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、等腰三角形的性质、面面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、面面平行的判定和性质定理、面面垂直的性质是解题的关键．