Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=．

（Ⅰ）求cosC，cosB的值；

（Ⅱ）若，求边AC的长．

Answer 1

考点：

解三角形；二倍角的余弦．

专题：

计算题．

分析：

（Ⅰ）由题意可得 cosC=cos2A，利用二倍角公式求出cosC=，再由同角三角函数的基本关系求出sinC 和 sinA 的值，由cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC，

运算求得结果．

（Ⅱ）由  求得 ac=24，再由 ，C=2A，可得 c=2acosA=a，姐方程求得a、c的值，再利用余弦定理求出b 的值，即为所求．

解答：

解：（Ⅰ）由题意可得 cosC=cos2A=2cos²A﹣1=，…1分

故 sinC=．…2分

由 cosA=得 sinA=．…3分

∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=．…4分

（Ⅱ）∵，

∴ac•cosB=，ac=24．…6分

∵，C=2A，

∴c=2acosA=a，

解得 a=4，c=6，…8分

再由余弦定理可得 b²=a²+c²﹣2accosB=25，故b=5．

即边AC的长为 5． …10分

点评：

本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题．