Question

已知二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=是偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值；
（3）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为函数是偶函数，所以二次函数f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为，故b=1

又因为二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式为f（x）=x²+x+11

（2）由题意可得 g（x）=（x-2）•|x|，当x≤0时，g（x）=-（x-1）²+1，
当x＞0时，g（x）=（x-1）²-1，由此可知g（x）在[t，2]上的最大值 g（x）_max=g（2）=0

当1≤t＜2，g（x）_min =g（t）=t²-2t．
当，g（x）_min=g（1）=-1．
当，g（x）_min=g（t）=-t²+2t

（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n²），
其中m为正整数，n为自然数，则m²+m+11=n²，从而4n²-（2m+1）²=43，
即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43

注意到43是质数，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，
所以有，解得

因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）

分析：（1）因为函数是偶函数，所以二次函数f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为，由此求得b的值，再由
 f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），求出c的值，从而求得f（x）的解析式．
（2）由题意可得 g（x）=（x-2）•|x|，画出它的图象，讨论t的范围，结合图象求出g（x）在[t，2]上的 最值．
（3）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n²），从而4n²-（2m+1）²=43，由此求得m、n的值，
从而得出结论．
点评：本题主要考查二次函数的性质应用，求二次函数在闭区间上的最值的方法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想，属于中档题．