Question

19．直线2x-y+c=0与圆（x-1）²+（y+1）²=6交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求c的值．

Answer 1

分析 将直线方程代入圆的方程，利用韦达定理，及以AB为直径的圆过原点，可得关于c的方程，即可求解，注意方程判别式的验证．

解答 解：由直线2x-y+c=0与圆（x-1）²+（y+1）²=6，消去y，得5x²+（2+4c）x+c²+2c-4=0①…（4分）
设直线l和圆C的交点为A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁、x₂是①的两个根．
∴x₁x₂=$\frac{{c}^{2}+2c-4}{5}$，x₁+x₂=-$\frac{2+4c}{5}$．②…（8分）
由题意有：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（2x₁+c）（2x₂+c）=0，即5x₁x₂+2c（x₁+x₂）+c²=0③
将②代入③得：c²+3c-10=0． …（12分）
解得：c=2或c=-5，
c=2时，方程为5x²+10x+4=0，判别式△=100-80＞0，满足题意
c=-5时，方程为5x²-18x-11=0，判别式△＞0，满足题意
所以满足条件的c为：c=2或c=-5．…（14分）

点评 本题综合考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．