Question

14．已知f₁（x）=1-ax，f₂（x）=（1-a）x-1．符号max{m，n}表示m，n两数中较大的数．
（1）设f（x）=max{f₁（x），f₂（x）}，试求分段函数f（x）的解析式；
（2）记（1）所求函数f（x）在闭区间[1，3]内的最大值与最小值之差为h（a），试求关于a的函数h（a）的解析式．

Answer 1

分析 （1）令f₁（x）=f₂（x），可得x=2，进而可得当x＜2时，1-ax＞（1-a）x-1，当x＞2时，1-ax＜（1-a）x-1，结合f（x）=max{f₁（x），f₂（x）}，可得分段函数f（x）的解析式；
（2）分类讨论函数f（x）在闭区间[1，3]的单调性，进而求出最大值与最小值之差为h（a），综合讨论结果，可得函数h（a）的解析式．

解答 解：（1）令f₁（x）=f₂（x），
即1-ax=（1-a）x-1，则x=2，
当x＜2时，1-ax＞（1-a）x-1，
当x＞2时，1-ax＜（1-a）x-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-ax，x＜2\\（1-a）x-1，x≥2\end{array}\right.$，
（2）由（1）得：f（1）=1-a，f（2）=1-2a，f（3）=2-3a，
若a＜0，则f（x）在[1，3]上为增函数，此时h（a）=f（3）-f（1）=2-3a-（1-a）=-2a+1；
若a=0，则h（a）=2-1=1，
若0＜a＜1，则f（x）在[1，2]为减函数，在[2，3]上为增函数，
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，h（a）=f（3）-f（2）=2-3a-（1-2a）=-a+1，
当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，h（a）=f（1）-f（2）=1-a-（1-2a）=a，
若a=1时，h（a）=0-（-1）=1，
若a＞1，则f（x）在[1，3]上为减函数，此时h（a）=f（1）-f（3）=1-a-（2-3a）=2a-1，
综上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}-2a+1，a≤0\\-a+1，0＜a＜\frac{1}{2}\\ a，\frac{1}{2}≤a≤1\\ 2a-1，a＞1\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，一次函数的图象和性质，分类讨论思想，函数的最值，难度中档．