Question

9．已知函数f（x）=x²+ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x-y+2=0平行，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n，则S₂₀的值为  （　　）

• A． $\frac{325}{462}$
• B． $\frac{19}{20}$
• C． $\frac{119}{256}$
• D． $\frac{2010}{2011}$

Answer 1

分析 f′（x）=2x+a，根据函数f（x）=x²+ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x-y+2=0平行，可得f′（0）=a=2，于是f（x）=x²+2x．因此$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+a，
∵函数f（x）=x²+ax的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线2x-y+2=0平行，
∴f′（0）=a=2，
∴f（x）=x²+2x．
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
则S₂₀=$\frac{1}{2}（\frac{3}{2}-\frac{1}{21}-\frac{1}{22}）$
=$\frac{325}{462}$．
故选：A．

点评 本题考查了导数的几何意义、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．