Question

4．已知函数f（x）=x³-x²+$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$．求证：
（1）函数f（x）有零点；
（2）存在x₀∈（0，$\frac{1}{2}$），使f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析 （1）可判断函数f（x）在其定义域上连续，且f（0）=$\frac{1}{4}$＞0，f（-1）=-1-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$＜0，从而证明；
（2）令g（x）=f（x）-x=x³-x²-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$，从而证明．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=x³-x²+$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$在其定义域上连续，
且f（0）=$\frac{1}{4}$＞0，f（-1）=-1-1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$＜0，
∴f（-1）f（0）＜0，
故函数f（x）有零点；
（2）令g（x）=f（x）-x=x³-x²-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$，
g（0）=$\frac{1}{4}$＞0，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{8}$＜0，
故g（0）g（$\frac{1}{2}$）＜0，
故存在x₀∈（0，$\frac{1}{2}$），使f（x₀）=x₀．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用及零点判定定理的应用．