Question

17．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|3x-a|（a∈R）．
（I）当a=2时，解不等式：f（x）+g（x）＞x+6；
（II）若关于x的不等式3f（x）+2g（x）≥6在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（II）由条件利用绝对值三角不等式求得3f（x）+2g（x）的最小值为|2a+3|，可得|2a+3|≥6，由此求得a的范围．

解答 解：（I）当a=2时，不等式：f（x）+g（x）＞x+6，即|2x+1|+|3x-2|＞x+6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+2-3x＞x+6}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{2}{3}}\\{2x+1+2-3x＞x+6}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{2}{3}}\\{2x+1+3x-2＞x+6}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x＜-$\frac{1}{2}$，解②求得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{2}{3}$，解③求得x＞$\frac{7}{4}$．
综上可得，不等式的解集为 {x|x≤$\frac{2}{3}$，或x＞$\frac{7}{4}$}．
（II）3f（x）+2g（x）=|6x+3|+|6x-2a|≥|6x+3-（6x-2a）|=|2a+3|，
若关于x的不等式3f（x）+2g（x）≥6在R上恒成立，则|2a+3|≥6，求得a＞$\frac{3}{2}$或 a＜-$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．