Question

5．已知圆C：x²+y²-2x+4y+1=0与直线l：2x+y+c=0相交，且在圆C上恰有2个点到直线l的距离为1，则直线l被圆C所截得的弦的长度取值范围为（0，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据题意可得圆心C到直线l的距离d满足$\frac{r}{2}$＜d＜r，再利用弦长为2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$，求出它的范围．

解答 解：圆C：x²+y²-2x+4y+1=0，即（x-1）²+（y+2）² =4，表示以C（1，-2）为圆心、半径r等于2的圆．
它与直线l：2x+y+c=0相交，且在圆C上恰有2个点到直线l的距离为1，故圆心C到直线l的距离d满足$\frac{r}{2}$＜d＜r，
即 1＜d＜2．
故弦长为2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{4{-d}^{2}}$∈（0，2$\sqrt{3}$），
故答案为：（0，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相交的性质，弦长公式，属于基础题．