Question

3．已知椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（-2，0）和点Q（1，e），其中e是椭圆M的离心率，
（1）求椭圆M的方程
（2）若点B与点A关于原点对称，动点T满足TB⊥x轴，连接AT交椭圆M于点P（异于点A），在x轴上是否存在定点C，使得BP⊥TC？若存在，求出定点C的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，运用离心率公式，代入点（1，e），解方程即可得到b=1，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x₀，y₀），则直线AP的方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），由已知条件推导出T（2，$\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$）设定点C（m，0），由TC⊥PB，得到$\frac{\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}}{2-m}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-1，由此能求出定点C（1，0）．

解答 解：（1）由椭圆经过点A（-2，0），可得a=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2}$，b²+c²=4，
∵椭圆C经过点Q（1，e），可得$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设P（x₀，y₀），则直线AP的方程y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），
∵A（-2，0）、B（2，0）是椭圆C的左、右顶点，动点M满足TB⊥AB，
∴T（2，$\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}$），
假设存在定点C（m，0），
∵TC⊥PB，
∴k_TC•k_PB=-1，即$\frac{\frac{4{y}_{0}}{2+{x}_{0}}}{2-m}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$=-1，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，
∴-$\frac{1}{4}$•$\frac{4}{2-m}$=-1，解得m=1，
∴定点C（1，0）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用．