Question

已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）．（2）. （3）. 

解析试题分析：（1）当时，函数， ．        　　　　　　　　　　　    
，
曲线在点处的切线的斜率为．   2分
从而曲线在点处的切线方程为，
即．             3分
（2）．                 4分
令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.                5分
由题意＞0，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，
只需，即，
∴在内为增函数，正实数的取值范围是.       7分
（3）∵在上是减函数，
∴时，； 时，，即， 8分
①当＜0时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，∴在内是减函数．
当时，，因为，所以＜0，＜0，
此时，在内是减函数．
故当时，在上单调递减，不合题意…10分
②当0＜＜1时，由，
所以．
又由（Ⅱ）知当时，在上是增函数，
∴＜，不合题意； 12分
③当时，由（Ⅱ）知在上是增函数，，
又在上是减函数，
故只需