Question

13．已知函数f（x）=sinx+cosx，$g（x）=\sqrt{2}sin2x$，则下列结论正确的是（　　）

• A． 把函数f（x）图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，可得到函数g（x）的图象
• B． 两个函数的图象均关于直线$x=-\frac{π}{4}$对称
• C． 两个函数在区间$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上都是单调递增函数
• D． 函数y=g（x）在[0，2π]上只有4个零点

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象以及性质，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），$g（x）=\sqrt{2}sin2x$，
故把f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位，得到y=$\sqrt{2}$sinx的图象，再把横坐标变为原来的一半，可得g（x）=$\sqrt{2}$sin2x的图象，故A不对．
当x=-$\frac{π}{4}$时，f（x）=0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线$x=-\frac{π}{4}$对称，故排除B．
在区间$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上，x+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），2x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），故f（x）和g（x）在区间$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$上都是单调递增函数，故C正确．
在[0，2π]上，2x∈[0，4π]，由g（x）=0，可得2x=0，π，2π，3π，4π，即x=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，共计5个零点，故D错误，
故选：C．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象以及性质，属于基础题．