Question

4．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，则函数$F（x）=x•f（x）-\frac{1}{x}$的零点个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，通过函数的图象求解函数的零点个数．

解答 解：由$F（x）=x•f（x）-\frac{1}{x}$，可得F（x）=xf（x）-$\frac{1}{x}$=0，得xf（x）=$\frac{1}{x}$，
设g（x）=xf（x），
则g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵x≠0时，有$f'（x）+\frac{f（x）}{x}＞0$，
即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
此时g（x）＞g（0）=0，
当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
此时g（x）＞g（0）=0，
作出函数g（x）和函数y=$\frac{1}{x}$的图象，（直线只代表单调性和取值范围），
由图象可知函数F（x）=xf（x）-$\frac{1}{x}$的零点个数为1个．
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的图象的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．