Question

11．如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线与AE、BE分别交于点C、D，其中∠AEB=30°．
（1）求证：$\frac{ED}{BD}.\frac{PB}{PA}=\frac{PD}{PC}$
（2）求∠PCE的大小．

Answer 1

分析 （1）证明△PED∽△PAC，结合角平分线的性质，即可证明结论；
（2）利用PE是圆的切线，可得∠PEB=∠PAC，利用AE是∠APE的平分线，可得∠EPC=∠APC，根据三角形的外角与内角关系，可得∠EDC=∠ECD，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵PE是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC，
∵AE是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠APC，
∴△PED∽△PAC，
∴$\frac{PE}{PA}$=$\frac{PD}{PC}$，
∵$\frac{PE}{PB}$=$\frac{ED}{BD}$，
∴$\frac{ED}{BD}.\frac{PB}{PA}=\frac{PD}{PC}$；
（2）解：∵PE是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC，
∵AE是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠APC，
根据三角形的外角与内角关系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，
∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC为等腰三角形，
又∠AEB=30°，
∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=75°，

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查角平分线性质，圆的切线的性质，考查等腰三角形的性质，属于中档题．