Question

20．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）＞0，且$\frac{2f（x）}{x}$＜f′（x）$＜\frac{3f（x）}{x}$（其中f′（x）是f（x）的导函数）恒成立，则（　　）

• A． $\frac{1}{3}$$＜\frac{f（2）}{f（4）}$$＜\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}＜\frac{f（2）}{f（4）}$$＜\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{8}$$＜\frac{f（2）}{f（4）}$$＜\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{16}$$＜\frac{f（2）}{f（4）}$$＜\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 分别构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$＞0，
∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴g（2）＜g（4），
∴$\frac{f（2）}{4}$＜$\frac{f（4）}{16}$，
∴$\frac{f（2）}{f（4）}$＜$\frac{1}{4}$，
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），
h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）＜0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴h（2）＞h（4），
∴$\frac{f（2）}{8}$＞$\frac{f（4）}{64}$，
∴$\frac{f（2）}{f（4）}$＞$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{8}$＜$\frac{f（2）}{f（4）}$＜$\frac{1}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．