Question

12．如图，PA为半径为1的⊙O的切线，A为切点，圆心O在割线CD上，割线PD与⊙O相交于C，AB⊥CD于E，PA=$\sqrt{3}$．
（1）求证：AP•ED=PD•AE；
（2）若AP∥BD，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，先证明$\frac{AP}{PC}=\frac{AE}{CE}$，利用切割线定理得到$\frac{AP}{PC}$=$\frac{PD}{AP}$．Rt△ACD中，AB⊥CD，由射影定理得AE²=CE•ED，即可证明AP•ED=PD•AE；
（2）求出AB，证明△ABD是等边三角形，即可求△ABD的面积．

解答 证明：（1）连接AC，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAC=∠ADC，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴∠BDC=∠ADC．
∵∠BDC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴$\frac{AP}{AE}$=$\frac{PC}{CE}$，
∴$\frac{AP}{PC}=\frac{AE}{CE}$，
∵PA为⊙O的切线，
∴AP²=PC•PD，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{PD}{AP}$．
Rt△ACD中，AB⊥CD，由射影定理得AE²=CE•ED，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{ED}{AE}$，
∴$\frac{ED}{AE}=\frac{PD}{AP}$，
∴AP•ED=PD•AE；
解：（2）∵AP∥BD，
∴∠P=∠BDC．
Rt△APE中，∠PAC=∠CAB=∠P=30°，
∴AP=$\sqrt{3}$PC．
∵AP²=PC•PD，
∴AP²=PC（PC+2），
∴PC=AC=1，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB=$\sqrt{3}$
∵∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴S_△ABD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查切割线定理的运用，考查射影定理，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．