Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，若函数过点（-2，0），解不等式xf（x）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化，即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，若函数过点（-2，0），
∴f（2）=f（-2）=0，
∵在（0，+∞）上为增函数，
∴若x＞0，则不等式xf（x）＜0等价为f（x）＜0．即f（x）＜f（2），解得0＜x＜2，
∵函数f（x）是偶函数，∴在（-∞，0）上为减函数，
∴若x＜0，则不等式xf（x）＜0等价为f（x）＞0．即f（x）＞f（-2），解得x＜-2，
综上不等式的解为0＜x＜2或x＜-2，
即不等式的解集为{x|0＜x＜2或x＜-2}

点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶数和单调性之间的关系是解决本题的关键．