Question

【题目】如图所示的几何，底为菱形，，.平面底面，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）推导出，从而平面，进而.再由，得平面，推导出，从而平面，由此能证明平面平面；
（2）取中点G，从而平面，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.

解：（1）由题意可知，

又因为平面底面，所以平面，

从而.

因为，所以平面，

易得，，，

所以，故.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面；

（2）取中点G，，相交于点O，连结，易证平面，

故、、两两垂直，以O为坐标原点，以、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，.

由（1）可得平面的法向量为.

设平面的法向量为，

则即

令，得，

所以.

从而，

故二面角的正弦值为.