Question

（2012•西区一模）已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an

an+1

（n∈N^*）
（1）证明：数列{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式
（2）如果数列{

2n

an

}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）a_n+1=

an

an+1

可化为

1

an+1

-

1

an

=1，即可得到数列{

1

an

}为等差数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列的和．

解答：（1）证明：∵a_n+1=

an

an+1

∴

1

an+1

-

1

an

=1
∵a₁=1，
∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

1

an

=n，∴a_n=

1

n

；
（2）解：

2n

an

=n•2ⁿ
∴S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ①
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②可得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹•2ⁿ⁺¹-2
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．