Question

【题目】函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数，现有f（x）= +k是闭函数，那么k的取值范围是

Answer 1

【答案】（﹣ ,a]
【解析】解：函数f（x）= +k 的定义域为[﹣2，+∞），且在定义域内是增函数，故满足①，

又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，

∴ +k=a，且 +k=b，∴a+2=（a﹣k）2，且 b+2=（b﹣k）2，且k≤a，k≤b．

即 ，故 a和 b 是方程 x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0在[﹣2，+∞）上的两个根．

令 g（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，

则有 ，解得 a≥k＞﹣ ，那么k的取值范围是（﹣ ，a]，

所以答案是：（﹣ ，a]．

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对函数单调性的判断方法的理解，了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．