Question

（2011•西城区二模）数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

n-λ

n+1

an，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，当i＞m（i∈N^*）时总有a_i＜0．
其中正确的命题是

①③

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：①：当λ≤0时，

n-λ

n+1

＞0，a1＞0，a_n＞0，从而可得
②：由ai•ai+1=

i-λ

i+1

a

2 i

＜0可得λ＞i，从而可得
③：设λ=3.1，a2=

1-λ

2

a1＜0，a3=

2-λ

3

a2＞0，a4=

3-λ

4

a3＜0，
当i＞4时，

i-λ

5

＞0，从而有a₅＜0，a₆＜0，…a_i＜0，，从而可得

解答：解：①：当λ≤0时，

n-λ

n+1

＞0，a1＞0，a_n＞0，故①正确
②：由ai•ai+1=

i-λ

i+1

a

2 i

＜0可得λ＞i，从而可得λ为变量，故②错误
③：设λ=3.1，a2=

1-λ

2

a1＜0，a3=

2-λ

3

a2＞0，a4=

3-λ

4

a3＜0，
当i＞4时，

i-λ

5

＞0，从而有a₅＜0，a₆＜0，…a_i＜0，故③正确
故答案为：①③

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式判断数列中的项满足的条件，解题的关键是要能够灵活利用数列的综合知识．