Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0x10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。

Answer 1

(1)f(x)="20C(x)+" C₁(x)=
(2)当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元。

解析试题分析：(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=
再由C(0)=8,得k=40,因此C(x)=而建造费用为C₁(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)="20C(x)+" C₁(x)=
(2)令即
解得x=5,x=(舍去)
当0<x<5时，f’(x)<0,当5<x<10时f’(x)>0,故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元。
考点：函数模型，应用导数研究函数的最值。
点评：中档题，作为函数应用问题，首先应注意“审清题意，设出变量，列出函数关系，确定函数最值”。在研究函数最值时，往往利用均值定理或导数。应用均值定理时，要注意“已知，二定，三相等”，缺一不可。本题利用导数，在指定自变量范围内，只有一个极值点，因此，可以断定其即为最值点。