Question

若关于x的方程x²+1=ax有正实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：方法一：将方程化为a=

1

x

+x，方程有正实根，故可用基本不等式求实数a的取值范围；
方法二：关于x的方程x²+1=ax有正实数根，可设两根为α，β，则由根系关系可得αβ=1，α+β=a，利用基本不等式求最值．

解答：解：法一：方程有正实根，方程可变为a=

1

x

+x，
∴a=

1

x

+x≥2，等号当且仅当

1

x

=x=1时成立，
故参数a的取值范围是[2，+∞）
故应填[2，+∞）
法二． 方程可变为x²-ax+1=0，可设两根为α，β，
则由根系关系可得αβ=1，α+β=a，
因 为关于x的方程x²+1=ax有正实数根，αβ=1，故两根皆为正
a=α+β≥2

αβ

=2，当且仅当两根相等即α=β=1时等号成立．
故参数a的取值范围是[2，+∞）
故应填[2，+∞）

点评：本题考查用根与系数关系建立方程求参数的范围，在本题解法一中把参数分离出来变成了求函数值的问题，此方法是解决此类问题求参数的一个较巧妙的方法，应仔细体会看看还有哪些题可以用此种方法解题．