Question

4．已知$\overrightarrow m=（a，b）$，$\overrightarrow{n}$=（2sinx，2cosx），其中a，b，x∈R．若f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，满足f（$\frac{π}{3}$）=2，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{6}$对称．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上总有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据向量数量积的定义求出函数f（x）的表达式，结合函数的对称性和最值之间的关系利用辅助角公式建立方程关系即可，求a，b的值；
（2）利用方程和函数之间的关系转化为两个函数的函数值相同问题，构造函数，利用三角函数的图象和性质求出函数的值域进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2asinx+2bcosx，f（$\frac{π}{3}$）=2，
∴f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$a+b=2，
函数的导数f′（x）=2acosx-2bsinx，
∵导函数f′（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{6}$对称，
∴|-$\sqrt{3}$a-b|=$\sqrt{4{a}^{2}+4{b}^{2}}$=2，
即a²+b²=1，
∵$\sqrt{3}$a+b=2，
∴消去b得4a²-4$\sqrt{3}$a+3=0，
即（2a-$\sqrt{3}$）²=0，
则a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
（2）∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$；
∴f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上总有实数解，
则等价为log₂k=-f（x）=-2sin（x+$\frac{π}{3}$）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上总有实数解，
设g（x）=）=-2sin（x+$\frac{π}{3}$），
当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，
则$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，
则-2≤-2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤-1，
由-2≤log₂k≤-1，
解得$\frac{1}{4}$≤k≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．