Question

10．设函数f（x）=|x+1|+|x-2|，g（x）=|x-3|+|x-2|．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意的x∈R，不等式g（a）≤f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值三角不等式求得函数f（x）的最小值．
（2）g（a）≤f（x）_min=3，解此绝对值不等式，求得a的范围．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，当且仅当（x+1）（x-2）≤0，
即x∈[-1，2]时，取等号，此时f（x）_min=3．
（2）对任意的x∈R，不等式g（a）≤f（x）恒成立，?g（a）≤f（x）_min=3，
?g（a）≤f（x）_min=3，$?\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3-a+2-a≤3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}2＜a＜3\\ 3-a+a-2≤3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≥3\\ a-3+a-2≤3\end{array}\right.$，
?1≤a≤2，或2＜a＜3，或3≤a≤4，?1≤a≤4．
所以，实数a的取值范围为[1，4]．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式的应用，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，属于中档题．