【题目】为了打击海盗犯罪,甲、乙、丙三国海军进行联合军事演习,分别派出一艘军舰A,B,C.演习要求:任何时刻军舰A、B、C均不得在同一条直线上.
(1)如图1,若演习过程中,A、B间的距离始终保持,B,C间的距离始终保持,求的最大值.
(2)如图2,若演习过程中,A,C间的距离始终保持,B、C间的距离始终保持.且当变化时,模拟海盗船D始终保持:到B的距离与A、B间的距离相等,,与C在直线AB的两侧,求C与D间的最大距离.
【答案】(1)(2)C与D间的最大距离为
【解析】
(1)由正弦定理求出的取值范围后可得的最大值;
(2))以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,
则,由,得A在圆上.设,得,由到及,与C在直线AB的两侧,可,从而得点坐标,代入点轨迹方程可得点轨迹方程,知轨迹为圆,从而由点与圆的位置关系可得最大距离.
因为任何时刻军舰A,B,C均不得在同一条直线上,所以构成,记角A,B,C的对边分别为a,b,c.
(1)在中,,,
由正弦定理,得
所以.
又因为.所以
答:∠ACB的最大值是.
(2)以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,
则
因为,所以A在圆上.
设,则.
因为D始终保持:到B的距离与A,B间的距离相等,
且,与C在直线AB的两侧,
所以,所以.
代入方程中,得,
所以D在以点为圆心1为半径的圆上,
故.
答:C与D间的最大距离为.
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【题目】如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中, ,平面平面.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求的值,若不存在,说明理由.
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【题目】如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,点E,F分别为AD,BP的中点,AD=3,AP=3,PC.
(1)求证:EF//平面PDC;
(2)若∠CDP=120°,求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值.
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【题目】已知集合,从P中任取2个元素,分别记为a,b.
(1)若,随机变量X表示ab被3除的余数,求的概率;
(2)若(且),随机变量Y表示被5除的余数,求Y的概率分布及数学期望.
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【题目】已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)设分别为椭圆的左、右顶点,如图,过点分别作直线与,设直线交椭圆于另一点交椭圆于另一点,分别过和作椭圆的两条切线,且两条切线交于点,分别过和作椭圆的两条切线,且两条切线交于点.证明:点在直线上.
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