Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上为单调递减函数，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）

【解析】

（1）将代入函数解析式，再求得导函数，并令求得极值点，即可确定的符号，确定单调区间.

（2）先求得导函数，由函数在区间上为单调递减函数，可得在区间上恒成立，即.构造函数，即可由函数单调性求得，解不等式即可求得的取值范围.

（1）当时，，其定义域为，

则

，

令，解得.

当时，，故函数在区间上单调递增；

当时，，故函数在区间上单调递减.

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题意得，

因为函数在区间上为单调递减函数，

所以在区间上恒成立，

即在时恒成立，

即，

即，其中，

令，

易知函数在上单调递增，故.

所以，

即，

解得或；

故的取值范围为.