Question

14．函数y=$\sqrt{2-（\frac{1}{2}）^{x}}$的定义域是[-1，+∞），值域是[0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 可以看出要使原函数有意义，需$2-（\frac{1}{2}）^{x}≥0$，根据指数函数的单调性解该不等式即可得出该函数的定义域，值域可由$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$得出$2-（\frac{1}{2}）^{x}$的范围，并且还要满足$2-（\frac{1}{2}）^{x}≥0$，这样即可得出y的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：要使原函数有意义，则：$2-（\frac{1}{2}）^{x}≥0$；
∴$（\frac{1}{2}）^{x}≤（\frac{1}{2}）^{-1}$；
∴x≥-1；
∴原函数的定义域为：[-1，+∞）；
$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$；
∴$-（\frac{1}{2}）^{x}＜0$；
∴$0≤2-（\frac{1}{2}）^{x}＜2$；
∴$0≤y＜\sqrt{2}$；
∴原函数的值域为：[0，$\sqrt{2}$）．
故答案为：[-1，+∞），[0，$\sqrt{2}$）．

点评 考查函数定义域、值域的概念，指数函数的单调性，以及指数函数的值域，根据不等式的性质求函数值域的方法．