Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}，\;\;x≥1\\ 2x-{x^2}，\;x＜1\end{array}$，若f（ax²+1）＞f（ax）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为[0，4）．

Answer 1

分析 通过对函数$x+\frac{1}{x}$求导，即可判断函数f（x）在x≥1时的单调性，由二次函数的单调性即可判断x＜1时函数f（x）的单调性，再单调性的定义即可得到函数f（x）在R上单调递增，从而可得到不等式ax²-ax+1＞0恒成立，a=0时显然成立，而a≠0时，需满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，这样便可得出实数a的取值范围．

解答 解：设g（x）=$x+\frac{1}{x}$，x≥1，$g′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$；
∵x≥1，∴g′（x）≥0；
∴x≥1时，g（x）单调递增；
设h（x）=2x-x²，x＜1；
二次函数h（x）的对称轴为x=1；
∴x＜1时，h（x）单调递增；
又g（1）=2，h（1）=1，g（1）＞h（1）；
∴f（x）在R上是增函数；
由f（ax²+1）＞f（ax）对任意x∈R恒成立得：
ax²+1＞ax恒成立；
即ax²-ax+1＞0恒成立；
①若a=0，显然上面不等式成立；
②若a≠0，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$；
解得0＜a＜4；
∴实数a的取值范围为[0，4）．
故答案为：[0，4）．

点评 考查函数导数符号和函数单调性的关系，二次函数的单调性的判断，分段函数单调性的判断，增函数的定义，要熟悉二次函数的图象，不要漏了a=0的情况．