Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，PA⊥底面ABCD，其中BA⊥AD，AD∥BC，AC与BD交于点O，M是AB边上的点，且$BM=\frac{1}{3}BA$，已知PA=AD=4，AB=3，BC=2．
（Ⅰ）求平面PAD与平面PMC所成锐二面角的正切值；
（Ⅱ）已知N是PM上一点，且ON∥平面PCD，求$\frac{PM}{PN}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接CM并延长交DA的延长线于E，说明∠MFA是平面PMC与平面PAD所成锐二面角的平面角然后求解tan∠MFA=$\frac{MA}{FA}$，得到结果．
（2）连接MO并延长交CD于G，连接PG，在△BAD中，通过$\frac{BO}{OD}=\frac{BM}{MA}$，说明MO∥AD，然后求解$\frac{PM}{PN}$的值．

解答 解：（1）连接CM并延长交DA的延长线于E，则PE是平面PMC与平面PAD所成二面角的棱，
过A作AF垂直PE于F，连接MF．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥MA，
又MA⊥AD，∴MA⊥平面PAD，
∵AF⊥PE，∴MF⊥PE，
∴∠MFA是平面PMC与平面PAD所成锐二面角的平面角…（3分）
∵BC=2，AD=4，BC∥AD，AM=2MB，
∴AE=4，又PA=4，∴AF=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠MFA=$\frac{MA}{FA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以平面PMC与平面PAD所成锐二面角的正切为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（6分）
（2）连接MO并延长交CD于G，连接PG，
∵ON∥平面PCD，∴ON∥PG，
在△BAD中∵$\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}$，又$\frac{BM}{MA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BO}{OD}=\frac{BM}{MA}$，
∴MO∥AD，…（9分）
又在直角梯形ABCD中，由$\frac{MO}{BC}=\frac{AM}{AB}$，$\frac{OG}{AD}=\frac{OC}{AC}$，可得：MO=OG=$\frac{4}{3}$，
∵ON∥PG，
∴PN=MN，
∴$\frac{PM}{PN}=2$．…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，几何法与向量法的应用，考查空间想象能力以及计算能力，考查了推理论证能力，属于中档题．