Question

11．在△ABC中，三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足a=（$\sqrt{3}$-1）c，$\frac{cotC}{cotB}$=$\frac{2a-c}{c}$，求A、B、C的值．

Answer 1

分析 运用正弦定理和切化弦，以及两角和的正弦公式、诱导公式，化简可得B，再由条件，结合特殊角的正切函数值，可得C，进而得到A．

解答 解：$\frac{cotC}{cotB}$=$\frac{2a-c}{c}$，即为1+$\frac{cotC}{cotB}$=$\frac{2a}{c}$，
由正弦定理和切化弦可得，
$\frac{sinBcosC+cosBsinC}{sinCcosB}$=$\frac{2sinA}{sinC}$，
即$\frac{sin（B+C）}{cosB}$=2sinA，
即sinA=2sinAcosB，
即为cosB=$\frac{1}{2}$，
由0＜B＜π，可得B=$\frac{π}{3}$，
由a=（$\sqrt{3}$-1）c，则$\frac{cotC}{cotB}$=$\frac{2a-c}{c}$=2$\sqrt{3}$-3，
cotC=（2$\sqrt{3}$-3）cot$\frac{π}{3}$=2-$\sqrt{3}$，
即有tanC=2+$\sqrt{3}$，
由tan$\frac{5π}{12}$=2+$\sqrt{3}$，可得C=$\frac{5π}{12}$，
即有A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查切化弦和两角和的正弦公式及诱导公式的运用，特殊角的三角函数值，属于中档题．