Question

2．如图，AB是圆O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作圆O的切线，切点为C，PC=$2\sqrt{3}$，若∠CAB=30°，则圆O的直径AB等于（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据所给的条件判断三角形ABC 是一个含有30°角的直角三角形，得到直角边与斜边的关系，即直角边与直径之间的关系，根据切割线定理写出关系式，把所有的未知量用直径来表示，解方程得到结果．

解答 解：连接BC，设圆的直径是x
则三角形ABC是一个含有30°角的三角形，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
三角形BPC是一个等腰三角形，BC=BP=$\frac{1}{2}$AB，
∵PC是圆的切线，PA是圆的割线，
∴PC²=PB•PC=$\frac{1}{2}$x•$\frac{3}{2}$x=$\frac{3}{4}$x²，
∵PC=2$\sqrt{3}$，
∴x=4，则⊙O的直径AB为4．
故选：B．

点评 本题考查圆周角定理，考查切割线定理，考查含有特殊角的直角三角形的性质，是一个综合题目．