Question

7．过已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左焦点F₁作⊙O₂：x²+y²=4的两条切线，记切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB=120°，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据∠ACB=120°，OA=OC，可以得到∠AFO=30°，从而得到a与c的关系式，进而可求双曲线的离心率．

解答 解：因为∠ACB=120°，OA=OC，所以∠AOC=60°
∵FA是圆的切线，∴∠AFO=30°，
∴OF=2OC，
∴c=4，
∵a=2，
∴e=$\frac{c}{a}$=2
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率，解题的关键是熟练掌握双曲线与圆的位置关系，结合有关条件确定a、b与c的关系．