Question

15．设0＜a＜1，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，x=（sinθ）${\;}^{lo{g}_{a}sinθ}$，y=（cosθ）${\;}^{lo{g}_{a}tanθ}$，则x，y的大小关系是x＜y．

Answer 1

分析 化指数式为对数式，得到x=${a}^{（lo{g}_{a}sinθ）^{2}}$，y=${a}^{（lo{g}_{a}tanθlo{g}_{a}cosθ）}$，作差比较$（lo{g}_{a}sinθ）^{2}$与log_atanθ•log_acosθ后由指数函数的单调性得答案．

解答 解：（1）∵0＜θ＜$\frac{π}{4}$，x=（sinθ）${\;}^{lo{g}_{a}sinθ}$，y=（cosθ）${\;}^{lo{g}_{a}tanθ}$，
∴log_asinθ=log_sinθx，log_atanθ=log_cosθy，
∴x=${a}^{（lo{g}_{a}sinθ）^{2}}$，y=${a}^{（lo{g}_{a}tanθlo{g}_{a}cosθ）}$，
∵$（lo{g}_{a}sinθ）^{2}-lo{g}_{a}tanθlo{g}_{a}cosθ$=log_asinθ•log_asinθ-log_asinθ•log_acosθ+log_acosθ•log_acosθ
=$lo{g}_{a}sinθ•lo{g}_{a}tanθ+（lo{g}_{a}cosθ）^{2}$，
∵0＜a＜1，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
∴log_asinθ＞0，log_atanθ＞0，
∴$（lo{g}_{a}sinθ）^{2}＞lo{g}_{a}tanθ•lo{g}_{a}cosθ$．
∴x＜y．
故答案为：x＜y

点评 本题考查指数函数和对数函数的运算性质，考查指数式和对数式的转化，训练了比较法比较两个数的大小，是中档题．