Question

5．设函数f（x）=2|x-2|-x+5．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简f（x）的解析式，再利用单调性求得函数f（x）的最小值m．
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得|x-a|+|x+2|≥|a+2|，可得|a+2|≥3，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2|x-2|-x+5=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≥2}\\{9-3x，x＜2}\end{array}\right.$，故函数f（x）在（-∞，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，
故函数f（x）的最小值m=f（2）=3．
（Ⅱ）∵|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，
故有|a+2|≥m=3，故有a+2≤-3，或 a+2≥3，
求得a≤-5，或a≥1．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．