Question

14．如图所示，已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；
（2）根据切割线定理得到PA²=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD²=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．

解答 （1）证明：连接AB，
∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠BAC=∠D．
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E．
∴AD∥EC．
（2）解：如图，
∵PA是⊙O₁的切线，PD是⊙O₁的割线，
∴PA²=PB•PD，
PA=AC-PC=6，
即6²=PB•（PB+9），
∴PB=3．
在⊙O₂中，PA•PC=BP•PE．
∴PE=4．
∵AD是⊙O₂的切线，DE是⊙O₂的割线，
且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，
∴AD²=DB•DE=9×16，∴AD=12．

点评 此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．